Punktprobe Vektoren – online lernen

Koordinatenform

Punktprobe

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform

E:n1x1+n2x2+n3x3=d$E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$.

Will man von einem Punkt P$P$ wissen, ob er in der Ebene liegt, setzt man die Koordinaten von

in die Ebenengleichung ein. Entsteht eine wahre Aussage, so gilt P∈E$P\in E$ , ansonsten P∉E$P\notin E$.

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Beispielaufgabe:

Prüfe, ob die Punkte A (10|−1|−6);B (0|0|17);C (2|1|6)$A(10|-1|-6);B(0|0|17);C(2|1|6)$
in E:3x1+6x2+x3=18$E:3x_1+6x_2+x_3=18$ enthalten sind.

Lösung:

Punktprobe mit

:
3⋅10−6−6=18⇔30−6−6=18⇔18=18⇒A∈E$3\cdot 10-6-6=18\iff 30-6-6=18\iff 18=18\Rightarrow A\in E$

Punktprobe mit

:
3⋅0+6⋅0+17=18⇔17=18$3\cdot 0+6\cdot 0+17=18\iff 17=18$ ↯ ⇒B∉E$\Rightarrow B\notin E$

Punktprobe mit

:
3⋅2+6⋅1+6=18⇔6+6+6=18⇔18=18⇒C∈E$3\cdot 2+6\cdot 1+6=18\iff 6+6+6=18\iff 18=18\Rightarrow C\in E$

Normalenform

Punktprobe

Liegt eine Ebene in Normalenform

E:(x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0$E:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$

vor, so prüft man, ob ein Punkt

in der Ebene liegt, indem man den Ortsvektor OA→$\overrightarrow{OA}$ von für x⃗ $\overrightarrow{x}$ einsetzt und die Gleichung löst. Entsteht eine wahre Aussage, so gilt A∈E$A\in E$, ansonsten gilt bei einer falschen Aussage A∉E$A\notin E$.

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Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜600⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜361⎞⎠⎟=0$E:\left(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 1\end{array}\right)=0$.

Prüfe, ob die Punkte A(10|−1|−6)$A\left(10|-1|-6\right)$ bzw. B(0|0|17)$B\left(0|0|17\right)$ in der Ebene liegen.

Lösung:

Punktprobe mit

:

⎛⎝⎜⎛⎝⎜10−1−6⎞⎠⎟−⎛⎝⎜600⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜361⎞⎠⎟=0⟺⎛⎝⎜4−1−6⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜361⎞⎠⎟=0$\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ -6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 1\end{array}\right)=0⟺\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 1\end{array}\right)=0$

⇔12−6−6=0⇔0=0⇒A∈E$\iff 12-6-6=0\iff 0=0\Rightarrow A\in E$

Punktprobe mit

:

⎛⎝⎜⎛⎝⎜0017⎞⎠⎟−⎛⎝⎜600⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜361⎞⎠⎟=0⇔⎛⎝⎜−6017⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜361⎞⎠⎟=0$\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 17\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 1\end{array}\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 17\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 1\end{array}\right)=0$

⇔−18+17=0⇔−1=0$\iff -18+17=0\iff -1=0$ ↯ ⇒B∉E$\Rightarrow B\notin E$

Parameterform

Punktprobe

Bei der Parameterform der Ebene

E:x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ $E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$

führt man eine Punktprobe mit dem Punkt A$A$ durch, indem man den Ortsvektor dieses Punktes für x⃗ $\overrightarrow{x}$ einsetzt und das LGS löst. Ist es lösbar, liegt der Punkt in der Ebene und man erhält gleichzeitig die entsprechenden Werte für die Parameter r$r$ und s$s$. Ansonsten entsteht eine falsche Aussage und der Punkt liegt nicht in der Ebene.

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Beispielaufgabe:

Prüfe, ob die Punkte A (10|−1|−6)$A(10|-1|-6)$ und B (0|0|17)$B(0|0|17)$ in

E:x⃗ =⎛⎝⎜600⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜6−30⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−416⎞⎠⎟$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

enthalten sind.

Lösung:

Punktprobe mit

:

⎛⎝⎜10−1−6⎞⎠⎟=⎛⎝⎜600⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜6−30⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−416⎞⎠⎟|−⎛⎝⎜600⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 6\end{array}\right)|-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

⟺⎛⎝⎜4−1−6⎞⎠⎟=r⋅⎛⎝⎜6−30⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−416⎞⎠⎟$⟺\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -6\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

⇒⎛⎝⎜⎜6−30−4164−1−6⎞⎠⎟⎟GTR−→−−⎛⎝⎜⎜1000100−10⎞⎠⎟⎟⇒{r=0s=−10=0⇒A∈E$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr}6& -4& 4\\ -3& 1& -1\\ 0& 6& -6\end{array}\right)\overrightarrow{\text{GTR}}\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}r=0 \\ s=-1 \\ 0=0\end{array}\Rightarrow A\in E \end{gathered}$$

Punktprobe mit

:

⎛⎝⎜0017⎞⎠⎟=⎛⎝⎜600⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜6−30⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−416⎞⎠⎟|−⎛⎝⎜600⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 6\end{array}\right)|-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

⇔⎛⎝⎜−6017⎞⎠⎟=r⋅⎛⎝⎜6−30⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−410⎞⎠⎟$\iff \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 17\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

⇒⎛⎝⎜⎜6−30−416−6017⎞⎠⎟⎟GTR−→−−⎛⎝⎜⎜100010001⎞⎠⎟⎟⇒⎧⎩⎨r=0s=00=1↯⇒B∉E$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr}6& -4& -6\\ -3& 1& 0\\ 0& 6& 17\end{array}\right)\overrightarrow{\text{GTR}}\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}r=0 \\ s=0 \\ 0=1↯\end{array}\Rightarrow B\notin E \end{gathered}$$