Partialbruchzerlegung – online lernen

Partialbruchzerlegung (PBZ)

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion

gegeben,
bei der der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.

Ziel ist es, einen Ansatz zu finden, der

in eine Summe zerlegt, die wir integrieren können.

Vorgehen:

1. Bestimmung der Nullstellen
   xi$$x_i$$
   des Nennerpolynoms
   q(x)$$q(x)$$
   .
2. Ist die Nullstelle
   xi$$x_i$$
   einfach, erhält der Ansatz den Summanden
   Ax−xi$$\frac{A}{x-x_i}$$
   ;
   ist die Nullstelle
   xi$$x_i$$
   n$$n$$
   -fach:
   A1x−xi+A2(x−xi)2+ ... +An(x−xi)n$$\frac{A_1}{x-x_i}+\frac{A_2}{(x-x_i{)}^2}+...+\frac{A_n}{(x-x_i{)}^n}$$
3. Ansatz mit der Funktion gleichsetzen; mit dem Nennerpolynom durchmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
4. Integration der Zerlegungsfunktion

---

Beispielaufgaben:

a) Berechne

.

Lösung:

1. Nullstellen von
   q(x)=x2−2x−8⟹pq-Formelx1=−2;x2=4$$q(x)=x^2-2x-8\underset{pq\text{-Formel}}{⟹}{x}_1=-2;x_2=4$$
   (jew. einfach)
2. Ansatz:
   f(x)=Ax−4+Bx+2$$f(x)=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+2}$$
3. Ax−4+Bx+2=2x−4x2−2x−8⇒A(x+2)+B(x−4)=2x−4$$\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+2}=\frac{2x-4}{x^2-2x-8}\Rightarrow A(x+2)+B(x-4)=2x-4$$
   
   
   ⇒(A+B)x+2A−4B=2x−4⇒∣∣∣A+B=22A−4B=−4∣∣∣⇒A=23;B=43$$\Rightarrow (A+B)x+2A-4B=2x-4\Rightarrow |\begin{array}{c}A+B=2\\ 2A-4B=-4\end{array}|\Rightarrow A=\frac{2}{3};B=\frac{4}{3}$$
   
   
   ⇒f(x)=23x−4+43x+2$$\Rightarrow f(x)=\frac{\frac{2}{3}}{x-4}+\frac{\frac{4}{3}}{x+2}$$
4. ∫23⋅1x−4+43⋅1x+2 dx=23ln(|x−4|)+43ln(|x+2|)$$\int \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{x-4}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{x+2}dx=\frac{2}{3}\ln (|x-4|)+\frac{4}{3}\ln (|x+2|)$$

b) Berechne

.

Lösung:

1. Doppelte Nullstelle
   x1=1$$x_1=1$$
2. Ansatz:
   f(x)=Ax−1+B(x−1)2$$f(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}$$
3. Ax−1+B(x−1)2=2x−1(x−1)2⇒A(x−1)+B=2x−1$$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}\Rightarrow A(x-1)+B=2x-1$$
   
   
   ⇒Ax−A+B=2x−1$$\Rightarrow Ax-A+B=2x-1$$
   
   
   ⇒A=2;−A+B=−1⇒B=1$$\Rightarrow A=2;-A+B=-1\Rightarrow B=1$$
   
   
   ⇒f(x)=2x−1+1(x−1)2$$\Rightarrow f(x)=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}$$
4. ∫2x−1+1(x−1)2 dx=2ln(|x−1|)−1x−1$$\int \frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}dx=2\ln (|x-1|)-\frac{1}{x-1}$$